Nicht berechenbare Zahlen

[xander1]

Es gibt Zahlen, die lassen sich nicht berechnen, durch keinen Algorithmus.
Das gilt in der Mathematik als bewiesen.
Es sind reelle Zahlen, genauer irrationale Zahlen, genauer transzendente Zahlen, genauer eine Teilmenge der transzendenten Zahlen.
Dieses Wissen hat mich geschockt und gleichzeitig verblüfft.
Ein Physikstudent, dem ich das erzählt habe meinte zu mir dass die philosophischen Folgen "echt krass" wären.
Ich denke, dass auch die physikalischen Konsequenzen krass wären.
Die berechenbaren reellen Zahlen lassen sich demnach alle zählen, nicht nur die algebraischen und die nicht berechenbaren nicht.
Diese nicht berechenbaren Zahlen können gar nicht gefunden werden. Wie auch?

Also stellt sich mir die Frage, ob mit der wissenschaftlichen Methode, auch einer zukünftigen wissenschaftlichen Methode alles gefunden werden kann. Nicht berechenbare Zahlen kann man selbst nicht durch Zufall finden, da diese unendlich lang hinter dem Komma sind.

Außerdem ist es laut theoretischer Informatik zwar möglich die Menge aller Algorithmen zu zählen, die irgendeine Zahl ausgeben, aber es ist nicht möglich diese Zahlen zu bekommen. Dazu gibt es auch einen Beweis, den man in mindestens einer Stunde verstehen kann.

[Mark]

meinst Du sowas ?
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

[xander1]

nein. google mal nach den Begriffen meines Textes.

[Zappa]

nein. google mal nach den Begriffen meines Textes.

Wenn jetzt schon Google der Bedeutung eines Textes näher kommen können soll als der Autor desselben, dann gute Nacht menschliche Kommunikation

[xander1]

Ok, dann google ich:
Das sind die reellen Zahlen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahlen
Das ist deren echte Teilmenge:
http://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahlen
Also das sind die Zahlen, die hinter dem Komma unendlich viele Stellen haben, ohne dass es Wiederholungen gibt, also Perioden.

Dann gibt es noch solche Zahlen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl
Das sind alle Zahlen, die sich durch einen Polynom ausrechnen lassen, also sowas wie x^4*3+x^2*9+7 , mit einer beliebigen Einsetzung von x, z.B. 0, eigentlich ist dabei ja die Nullstelle gefragt.

Algrebraische Zahlen können Zahlen wie 1, wie 2,3 und wie 2,3333 Periode und auch irrationale Zahlen sein.
Algebraische Zahlen umfassen aber nicht alle irrationalen Zahlen.

Die transzendenten Zahlen sind das Gegenteil der algebraischen Zahlen, innerhalb der reellen Zahlen.
Diese sind eine echte Teilmenge der irrationalen Zahlen.

Und die transzendenten Zahlen lassen sich widerum aufspalten in Zahlen, die man finden kann, und zahlen die mal niemals finden wird.
PI lässt sich zum Beispiel finden. Man kann nur nicht alle Stellen hinter dem Komma ausrechnen, weil die unendlich lang sind und ohne Periode.

Jedoch gibt es Zahlen, die nicht durch eine Rechnung oder einen Algorithmus rauskommmen, und die durch keinen Algorithmus und keine Rechnung entstehen können. Ich kann also keine eine solche Zahl nennen als Beispiel, weil wir sie niemals finden werden. Es sind irrationale Zahlen und genauer transzendente Zahlen, also reelle Zahlen.

Und weil die komplexen Zahlen und noch andere Obermengen der reellen Zahlen z.B. die Quaternionen u.a. aus den reellen Zahlen aufgebaut sind, gilt das auch für diese Zahlen.

Hier noch ein Link:http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternionen
und noch einer: http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom

nein. google mal nach den Begriffen meines Textes.

Wenn jetzt schon Google der Bedeutung eines Textes näher kommen können soll als der Autor desselben, dann gute Nacht menschliche Kommunikation

Wenn jemand komplexe Zahlen kennt und wenn jemand Abitur hatte, dann sollte man auch die meisten Fachbegriffe hier kennen. Ich hatte im Abitur komplexe Zahlen, Reelle Zahlen, Irrationale Zahlen, algraische Zahlen und transzendente Zahlen und Polynome. Und ich habe im Abitur nicht gelernt für andere zu googeln und kann das sogar trotzdem.

[Gandalf]

Ein Physikstudent, dem ich das erzählt habe meinte zu mir dass die philosophischen Folgen "echt krass" wären.
Ich denke, dass auch die physikalischen Konsequenzen krass wären.

In der Physik unterschidet man zwischen 'Berechenbarkeit' und 'Vorhersagbarkeit'
Zur Verdeutlichung:
"System der klassischen Physik" (die in der Natur nicht vokommen^^) sind in Folge ihrer Reaktion auf die Anfangsbedingungen grundsätzlich "unberechenbar" (das deterministische Chaos ist hier ein Beispiel). Man hört je nach (Ressourcen)Aufwand mit der Berechnung einfach auf. Die Vorhersagbarkeit ist dementsprechend
Systeme der Quantenphysik sind unberechenbar, weil sie verschiedene Zustände annehmen können - dennoch sind viele von ihren 'exakt vorhersagbar'

(so jetzt könnt ihr mit "Geisteswissenschaft" weitermachen)
Zitat Alber Einstein:
Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. Mathematische Theorien über die Wirklichkeit sind immer ungesichert - wenn sie gesichert sind, handelt es sich nicht um die Wirklichkeit.

[xander1]

Ich denke, dass es verschiedene Arten der Nicht-Berechenbarkeit gibt.
Ich würde mal so unterscheiden:
* Kein Algorithmus bekannt (Sowas wie Closed Source ohne Cracking)
* man müsste jedes Teilchen berechnen und kann nicht auf wenig Mathematik reduzieren
* Es basiert nicht auf berechenbaren Vorgängen oder Mathematik
* Das Spaghettimonster ist im Spiel und greift ein.

[mat-in]

Aber ist das nicht einfach ein Problem unseres "Zahlenraums", nicht ein Problem der Welt?

[xander1]

Aber ist das nicht einfach ein Problem unseres "Zahlenraums", nicht ein Problem der Welt?

Kommt drauf an was du meinst.
Ich meinte gerade die Physik.
Für das Thema hier ist es so, dass die Nichtberechenbarkeit darauf zurückzuführen ist, dass es 100% keinen Algorithmus gibt und niemals geben wird, der so eine Zahl ausrechnen kann, die zu der gewissen Teilmenge der transzendenten Zahlen gehören.

[mat-in]

Ja, aber ich denke nicht das man sich "über das philosophische Problem der exakten Zahl von Pi" Gedanken machen muß im Sinne von "Wer hat die Welt nur so erschaffen". Es ist ein "internes" Problem das sich aus unserem Gehirn und unserem Umgang mit Zahlen und Werten ergibt, keines das sich aus der Natur selbst herleitet...

[xander1]

Das ist nicht das was ich mit dem Thema meine.
Die Zahl PI ist eine berechenbare Zahl, wenn sie auch nicht zuende berechnet werden kann.
Es gibt aber Zahlen die wir nicht kennen, denen wir auch keinen Namen geben können, wie PI, die wir nicht nur berechnen können, weil sie unendlich lang hinter dem Komma sind, sondern weil es nie einen Algorithmus für diese Zahlen geben wird,weil es keinen gibt.

[ujmp]

Nichtberechenbare Zahlen sind m.E. für die Physik unerheblich. Die Physik könnte sogar ohne Mathenmatik auskommen, dann wäre sie nur quantitativ nicht so präzise. Man hat eine "Ursache" und eine "Wirkung" und sagt dann "Je mehr A - um so mehr B.". Damit kann man jedes physikalische Phänomen qualitativ exakt beschreiben - ohne eine Zahl! Nur wenn man es genauer haben will, fängt man an, die Mathematik auf die physikalische Größe zu projizieren .Man teilt die Größe in "Einheiten" ein um die Beziehung zwischen "Ursache" und "Wirkung" zu quantifizieren. Das Rechnen trägt aber zur Erkenntnis überhaupt nichts bei. Die Erkenntnis steckt in dem "Je-um-so". Das mag dann nur eine Vermutung sein, die evtl sogar falsch ist, aber dies Je-um-so ist ein Algorithmus. Die Physik stellt ihre Fragen an die Natur von vorneherein nur als Algorithmus-Hypothesen. Oder?

(Danke Gandalf, für das super Einstein-Zitat!)

[ujmp]

Man sollte sich m.E. von der Vorstellung lösen, dass Zahlen eine Wirklichkeit außerhalb unserer Vorstellung besitzen, andernfalls landet man in der Zahlenmystik. Eine Zahl ist genau so wenig wirklich wie "Mitte", oder "größer", "kleiner", "mehr" oder "weniger" oder "gleich". Diese Begriffe beschreiben lediglich Beziehungen zwischen Vorstellungen, zwischen Gegenständen der Betrachtung. Was soll z.B. die Mitte von einem Besenstiel Wirkliches sein? Genau so wenig sind "ein Halb", "ein Drittel" usw. etwas Wirkliches.

[xander1]

@ujmp

Es ist genau umgekehrt: Rechnen mit Zahlen ist keine Mathematik. Mit Rechnen alleine wäre keine Physik möglich.
Mathematik ist u.a. das Arbeiten mit Formeln. Und ohne Formeln wäre keine vernünftige Physik möglich.
Und nicht berechenbare Zahlen bedeutet, es gibt keine Formel für ein Ergebnis, das existieren könnte.
In der Physik bedeutet das entsprechend: Es gibt de facto keine Rechenvorschrift d.h. Formel/Algortihmus um etwas physikalisches zu berechnen.

[stine]

Interessantes Thema! Mir drängt sich da die Frage auf: Wenn die Mathematik die Physik mit Zahlen beschreibt (was auch meist bestens funktionert) sind dann, wenn die Zahlen unberechenbar sind, bestimmte physikalische Vorgänge/Verhältnisse einfach unmöglich? Am Beispiel der Kreiszahl PI in der Geometrie, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, bestimmt, würde das bedeuten, der Durchmesser hat überhaupt kein Verhältnis zu seinem Umfang und absolut nichts, lässt sich genauestens durch drei teilen. Und das bei jeder x-beliebigen Größe.

LG stine

[ujmp]

Du kannst einen Besenstiel exakt durch drei Teilen. Du kannst das Längenverhältnis der Teile zum Ganzen nur nicht in einer Einheit angeben, sondern nur als Algorhitmus: "Null- Komma-Drei - Drei -Drei usw" oder "Teile Eins durch Drei". Die Prüfung der Exaktheit der Teilung benötigt aber keine Zahlen, denn man muss die Teile nur nebeneinander halten, und Prüfen, ob sie gleich groß sind.

Es klingt doch absurd, wenn man sagt "Man kann einen Besenstiel nicht an jeder beliebigen Stelle teilen, weil man die Stelle nicht mit einer Zahl angeben kann" -oder?

[stine]

Du kannst einen Besenstiel exakt durch drei Teilen. ...denn man muss die Teile nur nebeneinander halten, und Prüfen, ob sie gleich groß sind.

Sie können niemals gleich groß sein!
Das geht schon rein rechnerisch gar nicht

LG stine

[stine]

Sorry: Wenn die Länge des Besenstiels rechnerisch durch drei teilbar ist, dann gehts natürlich schon.

stine

[xander1]

Wenn die Mathematik die Physik mit Zahlen beschreibt

Durch Zahlen kann man Vergleiche von Größen durchführen, aber nicht die Physik beschreiben. Die Mathematik ist das Hilfsmittel der Physik mit dem durch Formeln ein Verständnis für physikalische Zusammenhänge erst möglich ist.

wenn die Zahlen unberechenbar sind, bestimmte physikalische Vorgänge/Verhältnisse einfach unmöglich? Am Beispiel der Kreiszahl PI in der Geometrie, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, bestimmt, würde das bedeuten, der Durchmesser hat überhaupt kein Verhältnis zu seinem Umfang und absolut nichts,

gutes Beispiel!
In dem Fall hat der Umfang nichts mit dem Durchmesser zu tun oder es gibt Wahrscheinlichkeiten, d.h. wenn der Umfang so ist könnte der Durchmesser in dem Bereich liegen oder auch nicht.

Die Prüfung der Exaktheit der Teilung benötigt aber keine Zahlen, denn man muss die Teile nur nebeneinander halten, und Prüfen, ob sie gleich groß sind.

Das geht nicht für alle Größenordnungen. Und um den relativen und absoluten Fehler zu berechnen braucht man trotzdem wieder Zahlen.

[Gandalf]

Interessantes Thema! Mir drängt sich da die Frage auf: Wenn die Mathematik die Physik mit Zahlen beschreibt (was auch meist bestens funktionert) sind dann, wenn die Zahlen unberechenbar sind, bestimmte physikalische Vorgänge/Verhältnisse einfach unmöglich?

Weil Du die Physik hier ansprichst: Ich hatte diesbezüglich schon hier..., das "Berechenbarkeit" nicht unbedingt gleich zu setzen ist mit (physikalischer) "Vorhersagbarkeit"

Es ist u:U. sogar mehr vorhersagbar als berechenbar. So ist z.B. der jeweilige Weg eines Photons im "Mach-Zehnder-Interferometer" 'nicht berechenbar' - aber das Ergebnis u.U. 'vorhersagbar'. Zur "Unendlichkeit" mancher Zahlen und was "Unendlichkeit" ist, - hier mal eine (unvollendete) Seite von mir dazu